確率変数 $X$ が平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、$X$ の確率密度関数 $f(x)$ として正しいものはどれか。
補足
正規化定数 $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ は、$f(x)$ を $-\infty$ から $\infty$ まで積分した値がちょうど $1$ になるように決められている。
指数部の $-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$ は、$x=\mu$ で最大値(頂点)をとり、$x$ が $\mu$ から離れるほど急速に $0$ に近づく釣鐘型の形状を作り出している。$\sigma$ が大きいほど山の広がりが大きく(なだらかに)なる。
特に $\mu=0,\ \sigma^2=1$ の場合が標準正規分布 $N(0,1)$ であり、標準正規分布表はこの特別な場合の面積(確率)をあらかじめ計算してまとめたものである。
正規化係数の導出
なぜ先頭の係数が $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ になるのかを確認する。確率密度関数である以上、
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$$
を満たす必要がある。そこで、まず係数を $C$ とおいた
$$g(x) = C \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$
について、$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,dx = 1$ となるように $C$ を定める。
置換 $t = \dfrac{x-\mu}{\sigma}$(すなわち $x = \mu + \sigma t$、$dx = \sigma\,dt$)を行うと、
$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) dx = \sigma \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt$$
となるので、あとは基準となる積分 $\displaystyle I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt$ の値を求めればよい。
$I$ の値は、$I$ を直接求める代わりに $I^2$ を考える、というのが定石の求め方である。$s$ という別の積分変数も使って
$$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^2/2}\,ds\right) = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(t^2+s^2)/2}\,dt\,ds$$
と、$1$変数の積分の積を$2$変数(平面)上の積分に書き換える。
これを極座標 $t = r\cos\theta,\ s = r\sin\theta$($dt\,ds = r\,dr\,d\theta$)に変換すると、$t^2+s^2 = r^2$ なので
$$I^2 = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^2/2}\, r\,dr\,d\theta = 2\pi \int_{0}^{\infty} r e^{-r^2/2}\,dr$$
ここで $u = r^2/2$ と置換すると $du = r\,dr$ なので、$\displaystyle\int_{0}^{\infty} r e^{-r^2/2}\,dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = 1$ となり、
$$I^2 = 2\pi \times 1 = 2\pi \quad \Rightarrow \quad I = \sqrt{2\pi}\ \ (I>0 \text{ より})$$
したがって $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) dx = \sigma\sqrt{2\pi}$ となり、$g(x)$ の積分を $1$ にするには $C = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ とすればよいことがわかる。これが正規分布の確率密度関数の先頭に $\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ が現れる理由である。