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Q1 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x) = 3x^2 - 8x + 5$
- $f'(x) = 3x^2 - 8x + 3$
- $f'(x) = 3x^2 - 8x - 5$
- $f'(x) = x^2 - 4x + 5$
答え
$f'(x) = 3x^2 - 8x + 5$
解き方
べき乗の微分公式 $(x^n)' = nx^{n-1}$ を項別に適用する。$x^3$ は $3x^2$、$-4x^2$ は $-8x$、 $5x$ は $5$、定数項 $-2$ は $0$ になる。これらを足して $f'(x) = 3x^2 - 8x + 5$。
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Q2 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $f(x) = x^{-1/2}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x) = -\dfrac{1}{2}x^{-3/2}$
- $f'(x) = \dfrac{1}{2}x^{-3/2}$
- $f'(x) = -\dfrac{1}{2}x^{1/2}$
- $f'(x) = -\dfrac{1}{2}x^{-1/2}$
答え
$f'(x) = -\dfrac{1}{2}x^{-3/2}$
解き方
べき乗の微分公式 $(x^n)' = nx^{n-1}$ に $n=-\dfrac{1}{2}$ を当てはめる。指数から $1$ を引くと $-\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{3}{2}$ なので、 $f'(x) = -\dfrac{1}{2}x^{-3/2}$。
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Q3 · 2級 · 暗記 · 4択
$y = f(g(x))$ で表される合成関数の微分公式として正しいものはどれか。
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x))$
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(x) \cdot g'(x)$
- $\dfrac{dy}{dx} = f(g'(x))$
答え
$\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
解説
「$f'(g(x))$」は外側の関数を微分しただけで、内側の関数 $g(x)$ を微分した項 $g'(x)$ を掛け忘れた誤り。 「$f'(x)\cdot g'(x)$」は $f$ を $g(x)$ ではなく $x$ で微分してしまった誤り。 「$f(g'(x))$」は微分すべき $f$ をそのままにして $g$ だけを微分してしまった誤り(合成関数の微分と合成そのものを混同している)。
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Q4 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $y = (2x+1)^3$ の導関数 $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
- $\dfrac{dy}{dx} = 6(2x+1)^2$
- $\dfrac{dy}{dx} = 3(2x+1)^2$
- $\dfrac{dy}{dx} = 6(2x+1)^3$
- $\dfrac{dy}{dx} = 6x(2x+1)^2$
答え
$\dfrac{dy}{dx} = 6(2x+1)^2$
解き方(合成関数の微分)
$u = 2x+1$ とおくと $y = u^3$。$\dfrac{dy}{du} = 3u^2$、$\dfrac{du}{dx} = 2$ なので、 合成関数の微分公式より $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx} = 3u^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$。
展開して解いた場合との整合性
$y = (2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ を項別に微分すると $\dfrac{dy}{dx} = 24x^2 + 24x + 6$。 一方、$6(2x+1)^2 = 6(4x^2+4x+1) = 24x^2+24x+6$ となり、両者は一致する。
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Q5 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $f(x) = \ln(x^2+3x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x}$
- $f'(x) = 2x+3$
- $f'(x) = \dfrac{1}{x^2+3x}$
- $f'(x) = \dfrac{x^2+3x}{2x+3}$
答え
$f'(x) = \dfrac{2x+3}{x^2+3x}$
解き方
$u = x^2+3x$ とおくと $f = \ln u$。$\dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{u}$、$\dfrac{du}{dx} = 2x+3$ なので、 合成関数の微分公式より $f'(x) = \dfrac{1}{u}\cdot\dfrac{du}{dx} = \dfrac{2x+3}{x^2+3x}$。
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Q6 · 2級 · 暗記 · 4択
2つの関数 $f(x)$、$g(x)$ の積 $y = f(x)g(x)$ を微分する公式(積の微分公式)として正しいものはどれか。
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)g'(x)$
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)g(x)$
- $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$
答え
$\dfrac{dy}{dx} = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
解説
積の微分は「片方だけを微分し、もう片方はそのまま残す」を2パターン作って足し合わせる形になる ($f$ を微分してそのままの $g$ を掛けた項と、$g$ を微分してそのままの $f$ を掛けた項の和)。 微小変化 $\Delta x$ に対する $y$ の変化量を考えると、$f$・$g$ それぞれの変化分がもう片方に掛かる項と、 両方が同時に変化する項(2次以上の微小量なので無視できる)に分かれることから導かれる。
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Q7 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $y = (x^2+1)(3x-2)$ の導関数 $\dfrac{dy}{dx}$ を、積の微分公式を用いて求めよ。
- $\dfrac{dy}{dx} = 9x^2 - 4x + 3$
- $\dfrac{dy}{dx} = 6x$
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x(3x-2)$
- $\dfrac{dy}{dx} = 3(x^2+1)$
答え
$\dfrac{dy}{dx} = 9x^2 - 4x + 3$
解き方
$f(x)=x^2+1$、$g(x)=3x-2$ とおくと $f'(x)=2x$、$g'(x)=3$。積の微分公式より $\dfrac{dy}{dx} = f'(x)g(x)+f(x)g'(x) = 2x(3x-2) + (x^2+1)\cdot 3 = (6x^2-4x)+(3x^2+3) = 9x^2-4x+3$。
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Q8 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $f(x) = e^{3x^2}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x) = 6x e^{3x^2}$
- $f'(x) = e^{3x^2}$
- $f'(x) = 6x^2 e^{3x^2}$
- $f'(x) = 3x^2 e^{3x^2}$
解き方
$u = 3x^2$ とおくと $f = e^u$。$\dfrac{df}{du} = e^u$、$\dfrac{du}{dx} = 6x$ なので、 合成関数の微分公式より $f'(x) = e^u \cdot \dfrac{du}{dx} = 6x\,e^{3x^2}$。
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Q9 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $y = \dfrac{x^2+1}{x-1}$ の導関数 $\dfrac{dy}{dx}$ を、商の微分公式を用いて求めよ。
- $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$
- $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1}$
- $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x(x-1)+(x^2+1)}{(x-1)^2}$
- $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{x-1}$
答え
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$
解き方
$f(x)=x^2+1$、$g(x)=x-1$ とおくと $f'(x)=2x$、$g'(x)=1$。商の微分公式より $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} = \dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-1)^2}$。 分子を展開すると $2x^2-2x-x^2-1 = x^2-2x-1$ となり、$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$。
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Q10 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x) = 2x(x+1)e^{2x}$
- $f'(x) = (2x+x^2)e^{2x}$
- $f'(x) = 2xe^{2x}$
- $f'(x) = 2x^2e^{2x}$
答え
$f'(x) = 2x(x+1)e^{2x}$
解き方
$f(x)=x^2\cdot e^{2x}$ を積の微分公式で処理する。$u=x^2$、$v=e^{2x}$ とおくと $u'=2x$。 $v$ は合成関数なので、$w=2x$ とおいて $v=e^w$ とすると $v'=e^w\cdot w'=2e^{2x}$。 積の微分公式より $f'(x)=u'v+uv'=2x\,e^{2x}+x^2\cdot 2e^{2x}=(2x^2+2x)e^{2x}=2x(x+1)e^{2x}$。
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Q11 · 2級 · 計算 · 4択
関数 $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。
- $f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
- $f'(x) = \dfrac{1}{x^2}$
- $f'(x) = \dfrac{1+\ln x}{x^2}$
- $f'(x) = \dfrac{1}{x}-\ln x$
答え
$f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^2}$
解き方
$u=\ln x$、$v=x$ とおくと $u'=\dfrac{1}{x}$、$v'=1$。商の微分公式より $f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$。
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Q12 · 2級 · 計算 · 4択
2変数関数 $f(x,y) = x^2y + 3xy^2$ について、$x$ に関する偏導関数 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ を求めよ。
- $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$
- $\dfrac{\partial f}{\partial x} = x^2 + 6xy$
- $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y^2$
- $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 8xy$
答え
$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$
解き方
$x$ 以外の文字を定数とみなして $x$ について微分する。$x^2y$ の項は $y$ を定数として $2xy$、 $3xy^2$ の項は $y^2$ を定数として $3y^2$。両者を足して $\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2$。
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Q13 · 2級 · 計算 · 一問一答
単回帰分析における最小二乗法では、残差平方和 $E(b_0,b_1) = \displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i - b_0 - b_1x_i)^2$ を最小にする $b_0$、$b_1$ を求める。この $E(b_0,b_1)$ を $b_0$ について偏微分した $\dfrac{\partial E}{\partial b_0}$ を求めよ。
答え
$\dfrac{\partial E}{\partial b_0} = -2\displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i-b_0-b_1x_i)$
解き方
各項 $(y_i-b_0-b_1x_i)^2$ を $b_0$ について偏微分する。$u_i = y_i-b_0-b_1x_i$ とおくと、 $b_0$ に関する $u_i$ の偏微分は $\dfrac{\partial u_i}{\partial b_0} = -1$($y_i$、$b_1x_i$ は $b_0$ を含まないので定数扱い)。 合成関数の微分公式より $\dfrac{\partial}{\partial b_0}u_i^2 = 2u_i\cdot\dfrac{\partial u_i}{\partial b_0} = -2u_i = -2(y_i-b_0-b_1x_i)$。 総和記号の中身をそれぞれ偏微分して足し合わせるので、$\dfrac{\partial E}{\partial b_0} = -2\displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i-b_0-b_1x_i)$。
最小二乗法とのつながり
残差平方和を最小にする $b_0$、$b_1$ では、この偏導関数が $0$ になる($\dfrac{\partial E}{\partial b_0}=0$)。 これを整理すると、単回帰の正規方程式の1つ $\displaystyle\sum_{i=1}^n (y_i-b_0-b_1x_i)=0$ が得られる(両辺を $-2$ で割ればよい)。 同様に $b_1$ についても偏微分して $0$ とおくことで、もう1つの正規方程式が得られる。