積分

1. Q1 · 2級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx$$ の値を求めよ。
   • 2
   • 6
   • -2
   • 10

   答え

   2

   使う公式

   多項式の積分は項ごとに行う。$n \ne -1$ のとき $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$、定数項は $\displaystyle\int c\,dx = cx + C$。

   解き方

   $$\begin{aligned} \int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx &= \Big[x^3 - 2x^2 + x\Big]_0^2 \\ &= (2^3 - 2\cdot 2^2 + 2) - (0^3 - 2\cdot 0^2 + 0) \\ &= (8 - 8 + 2) - 0 \\ &= 2 \end{aligned}$$

2. Q2 · 2級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_0^1 e^{2x}\,dx$$ の値を求めよ。
   • $\dfrac{e^2-1}{2}$
   • $e^2-1$
   • $\dfrac{e^2+1}{2}$
   • $\dfrac{e^2}{2}$

   答え

   $\dfrac{e^2-1}{2}$

   使う公式

   $\displaystyle\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$($k$ は0でない定数)。指数関数を微分すると係数として指数の中の $x$ の係数が前に出てくることの逆操作にあたる。

   解き方

   $k=2$ として不定積分を求め、区間 $[0,1]$ で評価すると $$\begin{aligned} \int_0^1 e^{2x}\,dx &= \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} \\ &= \frac{1}{2}(e^2 - 1) \end{aligned}$$

3. Q3 · 2級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。
   • 1
   • 0
   • $e-1$
   • $e$

   答え

   1

   使う公式

   $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$($x \ne 0$)。これは $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$ の逆操作にあたる。

   解き方

   不定積分を求め、区間 $[1,e]$ で評価すると $$\begin{aligned} \int_1^e \frac{1}{x}\,dx &= \Big[\ln x\Big]_1^e \\ &= \ln e - \ln 1 \\ &= 1 - 0 \\ &= 1 \end{aligned}$$

4. Q4 · 準1級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_0^1 x e^{-x}\,dx$$ の値を求めよ。
   • $1 - \dfrac{2}{e}$
   • $1 - \dfrac{1}{e}$
   • $\dfrac{2}{e}$
   • $e - 2$

   答え

   $1 - \dfrac{2}{e}$

   部分積分の公式

   $$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

   この公式を忘れたときは、積の微分公式 $\big(f(x)g(x)\big)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ から思い出せる。両辺を積分すると $$\begin{aligned} f(x)g(x) &= \int \big(f(x)g(x)\big)'\,dx \\ &= \int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx \end{aligned}$$ これを $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx$ について解けば、部分積分の公式がそのまま得られる。

   解き方

   $f(x)=x,\ g'(x)=e^{-x}$(つまり $g(x)=-e^{-x}$)として部分積分すると $$\begin{aligned} \int_0^1 x e^{-x}\,dx &= \Big[-xe^{-x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \left(-e^{-x}\right)dx \\ &= \left(-1\cdot e^{-1} - 0\right) + \int_0^1 e^{-x}\,dx \\ &= -\frac{1}{e} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 \\ &= -\frac{1}{e} + \left(-\frac{1}{e} - (-1)\right) \\ &= -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 \\ &= 1 - \frac{2}{e} \end{aligned}$$

   レベル感の補足

   この手の「$x \times$ 指数関数」の部分積分は、統計検定®2級にはおそらく過剰。2級で積分の計算が出題されても、多項式レベルの簡単なものにとどまることが多く、部分積分を要するパターンはほぼ出ない。

   一方、準1級では指数分布・ガンマ分布などの期待値・分散の導出や、モーメント母関数を用いた平均・分散の導出でまさにこの「$x\,e^{-\lambda x}$ 型の部分積分」がそのまま使われるため、この計算パターンを確実に処理できることが準1級対策として直接効いてくる。

5. Q5 · 準1級 · 暗記 · 一問一答

   ガンマ関数 $\Gamma(n)$ の定義を答えよ($n > 0$)。

   答え

   $\Gamma(n) = \displaystyle\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\,dx$

   ガンマ関数の基本性質

   $n$ が正の整数のとき $\Gamma(n) = (n-1)!$ が成り立つ。つまりガンマ関数は階乗を実数(正確には正の実数)に拡張したものとみなせる。

   漸化式 $\Gamma(n+1) = n\,\Gamma(n)$ が成り立つ(部分積分で示せる)。特に $\Gamma(1)=1$、$\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ は結果として覚えておくと便利。

   統計学での使われ方

   ガンマ分布・カイ二乗分布・t分布・F分布などの確率密度関数の正規化定数(全区間で積分すると1になるようにするための係数)にガンマ関数が登場する。

6. Q6 · 準1級 · 暗記 · 一問一答

   ベータ関数 $B(n, m)$ の定義を答えよ($n > 0,\ m > 0$)。

   答え

   $B(n, m) = \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{m-1}\,dx$

   ベータ関数の基本性質

   対称性 $B(n,m) = B(m,n)$ が成り立つ(積分区間 $[0,1]$ で $x \to 1-x$ と置換すればすぐに確認できる)。

   ガンマ関数を使って $\displaystyle B(n,m) = \frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}$ と表せる。

   統計学での使われ方

   ベータ分布の確率密度関数の正規化定数($f(x) = \dfrac{1}{B(n,m)}x^{n-1}(1-x)^{m-1}$、$0\le x\le 1$)としてそのまま登場する。

   二項分布とベータ分布の関係(ベイズ統計での共役事前分布)を理解するうえでの土台にもなる。

7. Q7 · 準1級 · 計算 · 4択

   ガンマ関数 $\Gamma(s) = \displaystyle\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx$ について、$\Gamma\!\left(\dfrac{5}{2}\right)$ の値として正しいものはどれか。
   • $\dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}$
   • $\dfrac{3\sqrt{\pi}}{2}$
   • $\dfrac{15\sqrt{\pi}}{8}$
   • $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

   答え

   $\dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}$

   漸化式で1/2まで下ろす

   漸化式 $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ を繰り返し使い、値がわかっている $\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ まで引数を下げる。 $$\Gamma\!\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\,\Gamma\!\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\,\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$$ $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ の係数は「下げた後の引数」であることに注意する。$\frac{15\sqrt{\pi}}{8}$ は $\Gamma\!\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{\pi}$ の値で、係数を1つ余分に掛けてしまった場合に出る。係数 $\frac{1}{2}$ を掛け忘れると $\frac{3\sqrt{\pi}}{2}$ になる。$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ は $\Gamma\!\left(\frac{3}{2}\right)$ の値。

   Γ(1/2)=√π の導出

   $x = t^2/2$ と置換すると $dx = t\,dt$、$x^{-1/2} = \sqrt{2}/t$ なので $$\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \int_0^\infty x^{-1/2}e^{-x}\,dx = \sqrt{2}\int_0^\infty e^{-t^2/2}\,dt = \sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2\pi}}{2} = \sqrt{\pi}$$ 最後はガウス積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt = \sqrt{2\pi}$ の半分を使った。

8. Q8 · 準1級 · 計算 · 4択

   ベータ関数 $B(\alpha, \beta) = \displaystyle\int_0^1 x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,dx$ について、$B(3, 4)$ の値として正しいものはどれか。
   • $\dfrac{1}{60}$
   • $\dfrac{1}{35}$
   • $\dfrac{1}{10}$
   • $\dfrac{1}{420}$

   答え

   $\dfrac{1}{60}$

   ガンマ関数で表す

   ベータ関数とガンマ関数の間には $$B(\alpha,\beta) = \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$ の関係がある。正の整数 $n$ では $\Gamma(n) = (n-1)!$ なので $$B(3,4) = \frac{\Gamma(3)\Gamma(4)}{\Gamma(7)} = \frac{2!\cdot 3!}{6!} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60}$$

   直接積分による確認

   $x^2(1-x)^3 = x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5$ を展開して積分しても確かめられる。 $$\int_0^1 (x^2 - 3x^3 + 3x^4 - x^5)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{3}{5} - \frac{1}{6} = \frac{20 - 45 + 36 - 10}{60} = \frac{1}{60}$$ ただし指数が大きくなると展開は手間がかかるため、ガンマ関数経由の公式を使うのが実戦的である。

9. Q9 · 準1級 · 計算 · 4択

   積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt$ の値として正しいものはどれか。
   • $\sqrt{2\pi}$
   • $\sqrt{\pi}$
   • $\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$
   • $2\pi$

   答え

   $\sqrt{2\pi}$

   2乗して極座標に変換する

   $I = \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt$ とおく。$e^{-t^2/2}$ の原始関数は初等関数で表せないため、$I$ を直接計算するのではなく $I^2$ を考えるのが定石である。別の積分変数 $s$ を使って $$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-t^2/2}\,dt\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-s^2/2}\,ds\right) = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(t^2+s^2)/2}\,dt\,ds$$ と、1変数の積分の積を平面全体での2重積分に書き換える。

   極座標 $t = r\cos\theta,\ s = r\sin\theta$ に変換すると、ヤコビアンにより $dt\,ds = r\,dr\,d\theta$、また $t^2 + s^2 = r^2$ なので $$I^2 = \int_0^{2\pi}\!\int_0^{\infty} e^{-r^2/2}\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\int_0^{\infty} r\,e^{-r^2/2}\,dr$$ $u = r^2/2$ と置換すると $du = r\,dr$ より $\displaystyle\int_0^{\infty} r\,e^{-r^2/2}\,dr = \int_0^{\infty} e^{-u}\,du = 1$。したがって $$I^2 = 2\pi \quad\Rightarrow\quad I = \sqrt{2\pi}\ \ (I > 0 \text{ より})$$ 極座標にすると被積分関数に $r$ が掛かり、$r\,e^{-r^2/2}$ という原始関数がすぐ求まる形になる。

   統計学での使われ方

   この結果から $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt = 1$ となり、標準正規分布の確率密度関数の係数が $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ である理由がわかる。$t = (x-\mu)/\sigma$ と置換すれば、一般の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ の係数 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ も得られる。

   また、$x = t^2/2$ と置換すると $\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \displaystyle\int_0^\infty x^{-1/2}e^{-x}\,dx = \sqrt{2}\int_0^\infty e^{-t^2/2}\,dt = \sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}} = \sqrt{\pi}$ となり、ガンマ関数の値 $\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}$ もこの積分から導かれる。

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