積分

1. Q1 · 2級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx$$ の値を求めよ。
   • 2
   • 6
   • -2
   • 10

   答え

   2

   使う公式

   多項式の積分は項ごとに行う。$n \ne -1$ のとき $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$、定数項は $\displaystyle\int c\,dx = cx + C$。

   解き方

   $$\begin{aligned} \int_0^2 (3x^2 - 4x + 1)\,dx &= \Big[x^3 - 2x^2 + x\Big]_0^2 \\ &= (2^3 - 2\cdot 2^2 + 2) - (0^3 - 2\cdot 0^2 + 0) \\ &= (8 - 8 + 2) - 0 \\ &= 2 \end{aligned}$$

2. Q2 · 2級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_0^1 e^{2x}\,dx$$ の値を求めよ。
   • $\dfrac{e^2-1}{2}$
   • $e^2-1$
   • $\dfrac{e^2+1}{2}$
   • $\dfrac{e^2}{2}$

   答え

   $\dfrac{e^2-1}{2}$

   使う公式

   $\displaystyle\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$($k$ は0でない定数)。指数関数を微分すると係数として指数の中の $x$ の係数が前に出てくることの逆操作にあたる。

   解き方

   $k=2$ として不定積分を求め、区間 $[0,1]$ で評価すると $$\begin{aligned} \int_0^1 e^{2x}\,dx &= \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2}e^{2} - \frac{1}{2}e^{0} \\ &= \frac{1}{2}(e^2 - 1) \end{aligned}$$

3. Q3 · 2級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$$ の値を求めよ。ただし $e$ は自然対数の底である。
   • 1
   • 0
   • $e-1$
   • $e$

   答え

   1

   使う公式

   $\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$($x \ne 0$)。これは $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$ の逆操作にあたる。

   解き方

   不定積分を求め、区間 $[1,e]$ で評価すると $$\begin{aligned} \int_1^e \frac{1}{x}\,dx &= \Big[\ln x\Big]_1^e \\ &= \ln e - \ln 1 \\ &= 1 - 0 \\ &= 1 \end{aligned}$$

4. Q4 · 準1級 · 計算 · 4択

   定積分 $$\int_0^1 x e^{-x}\,dx$$ の値を求めよ。
   • $1 - \dfrac{2}{e}$
   • $1 - \dfrac{1}{e}$
   • $\dfrac{2}{e}$
   • $e - 2$

   答え

   $1 - \dfrac{2}{e}$

   部分積分の公式

   $$\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$$

   この公式を忘れたときは、積の微分公式 $\big(f(x)g(x)\big)' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ から思い出せる。両辺を積分すると $$\begin{aligned} f(x)g(x) &= \int \big(f(x)g(x)\big)'\,dx \\ &= \int f'(x)g(x)\,dx + \int f(x)g'(x)\,dx \end{aligned}$$ これを $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx$ について解けば、部分積分の公式がそのまま得られる。

   解き方

   $f(x)=x,\ g'(x)=e^{-x}$(つまり $g(x)=-e^{-x}$)として部分積分すると $$\begin{aligned} \int_0^1 x e^{-x}\,dx &= \Big[-xe^{-x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \left(-e^{-x}\right)dx \\ &= \left(-1\cdot e^{-1} - 0\right) + \int_0^1 e^{-x}\,dx \\ &= -\frac{1}{e} + \Big[-e^{-x}\Big]_0^1 \\ &= -\frac{1}{e} + \left(-\frac{1}{e} - (-1)\right) \\ &= -\frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1 \\ &= 1 - \frac{2}{e} \end{aligned}$$

   レベル感の補足

   この手の「$x \times$ 指数関数」の部分積分は、統計検定2級にはおそらく過剰。2級で積分の計算が出題されても、多項式レベルの簡単なものにとどまることが多く、部分積分を要するパターンはほぼ出ない。

   一方、準1級では指数分布・ガンマ分布などの期待値・分散の導出や、モーメント母関数を用いた平均・分散の導出でまさにこの「$x\,e^{-\lambda x}$ 型の部分積分」がそのまま使われるため、この計算パターンを確実に処理できることが準1級対策として直接効いてくる。

5. Q5 · 準1級 · 暗記 · 一問一答

   ガンマ関数 $\Gamma(n)$ の定義を答えよ($n > 0$)。

   答え

   $\Gamma(n) = \displaystyle\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\,dx$

   ガンマ関数の基本性質

   $n$ が正の整数のとき $\Gamma(n) = (n-1)!$ が成り立つ。つまりガンマ関数は階乗を実数(正確には正の実数)に拡張したものとみなせる。

   漸化式 $\Gamma(n+1) = n\,\Gamma(n)$ が成り立つ(部分積分で示せる)。特に $\Gamma(1)=1$、$\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$ は結果として覚えておくと便利。

   統計学での使われ方

   ガンマ分布・カイ二乗分布・t分布・F分布などの確率密度関数の正規化定数(全区間で積分すると1になるようにするための係数)にガンマ関数が登場する。

6. Q6 · 準1級 · 暗記 · 一問一答

   ベータ関数 $B(n, m)$ の定義を答えよ($n > 0,\ m > 0$)。

   答え

   $B(n, m) = \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{m-1}\,dx$

   ベータ関数の基本性質

   対称性 $B(n,m) = B(m,n)$ が成り立つ(積分区間 $[0,1]$ で $x \to 1-x$ と置換すればすぐに確認できる)。

   ガンマ関数を使って $\displaystyle B(n,m) = \frac{\Gamma(n)\Gamma(m)}{\Gamma(n+m)}$ と表せる。

   統計学での使われ方

   ベータ分布の確率密度関数の正規化定数($f(x) = \dfrac{1}{B(n,m)}x^{n-1}(1-x)^{m-1}$、$0\le x\le 1$)としてそのまま登場する。

   二項分布とベータ分布の関係(ベイズ統計での共役事前分布)を理解するうえでの土台にもなる。

← 解説記事一覧に戻る